同型写像の作用素ノルムに関するいくつかの基本的な不等式のメモ.

ハウスドルフだが局所ユークリッドでない位相空間の例として, 原点を二つ持つ直線という一次元多様体を考えることができる. それについての基本的な定義などのメモ.

// $V$ を線形空間とし, $W, W'$ を $V$ の部分空間とする. $g : W \times W' \rightarrow W+W'$ を $g(w, w') = w + w'$ と定める. このとき, ${\rm Ker} ~ g = \{ (w, -w) ~ | ~ w \in W \cap W' \} =: {\rm Skew}(W \cap W')$. $Proof.$ ${\rm Skew}(W \c…

// 個人的に面白かったのでメモ. 問は以下のようなもの. $0^\circ < \theta < 180^\circ$ かつ $4\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}$ のとき, $\tan\theta$ を求めよ. 最初にやった解き方は以下. $\cos\theta=0$ のときは $\sin\theta=1$ となりこれは条…

// どうということはない反例をメモするところ. 「稠密な集合の, 連続な写像による逆像は稠密になるとは限らない」： $f : \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ を $f(0)=0$ と定めれば, $\mathbb{R} - \{0\}$ は $\mathbb{R}$ で稠密であるが $f^{-1}(\mathbb{R}…

各点の基本近傍系が細かい位相空間ほど位相が細かいことが分かる. 基本近傍系とはある意味で局所的な構造であるが, それらをすべての点で比べることによって, 位相というある意味で大域的な性質についての情報を得ることができる.

閉包同士の積集合や, 内部同士の和集合に関してなりたついくつかの基本的な性質をまとめたもの.

// (1) $u \geqq 0, v \geqq 0$ について $f(u)+f(v) \geqq f(u+v)$ PROOF: $u, v$ は非負なので, $\frac{u}{1+u} \geqq \frac{u}{1+u+v}$ かつ $\frac{v}{1+v} \geqq \frac{v}{1+u+v}$ . よって $f(u)+f(v) \geqq \frac{u}{1+u+v}+\frac{v}{1+u+v} =f(u+v)$…

// $(X, \mathcal{O}_X)$ は位相空間とし, $(Y, \mathcal{O}_Y)$ はその部分空間とする. $(X, \mathcal{O}_X)$ および $(Y, \mathcal{O}_Y)$ の閉集合全体の集合をそれぞれ $\mathfrak{A}_X$, $\mathfrak{A}_Y$ と表す. $A \subset Y$ とし, $i_{X}(A)=X$ に…

// 整数環 $\mathbb{Z}$ において, 乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ. 「実数体 $\mathbb{R}$ において $2$ の逆元 $\frac{1}{2}$ が存在し, これが整数でないので示された」として良さそうだが, 整数に関する定理は整数の性質だけを使って示すほう…

$X$ を集合とする. $X$ 上の二項関係とは次の写像である. $ \rho : X \times X \rightarrow \{ T, F \} $ ここで集合 $ \{ T, F \} $ は真理値の集合を表す. $T$ が True, $F$ が False のつもりである. $ \{ 1, 0 \} $ で代用しても問題ない. このような写…

$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を数列とする. この数列が $a$ に収束"しない"というのはどういう場合であろうか. 以下のような場合については収束しないといっても問題ないであろう. ずっと $a$ に近づかない場合. 例えば $a$ の周り1cmには近づかない場合など…

// 加群の定義を当たり前と思わないための戒めとしてメモする. 可換群$ M $が環$ R $上の左加群であるとは左作用$ R \times M \rightarrow M ; (a, x) \mapsto ax $に関して, (1) $ \forall a \in R, \forall x, y \in M $について$ a(x+y)=ax+ay $ (2) $ \f…

環上の多項式というものは厳密には, 係数を対応させる写像と変数の組であると考えられる. この写像により多項式の次数（deg）を定めることができ, いくつかの基本的な等式, 不等式が成り立つことが分かる. この証明を, 係数を対応させる写像に注目して行う.

// 分数どうしの掛け算, 割り算の法則を示そうと思います. ときどき大学数学の話が混ざっていますが大部分は一次方程式をいじっているだけです. 実数 $ a $ と実数 $ b≠0 $ に関して定まる分数 $ \frac{a}{b} $ とは一次方程式 $ a = bx $ の解と定めます（…