閉包と積集合, 内部と和集合
$(X, \mathcal{O})$ は位相空間とし, $A, B \subset X$ を部分集合とする.
【定理１】
$\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つ.
PROOF.
一般に $A \subset \overline{A}$, $B \subset \overline{B}$ なので $A \cap B \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. よって $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $A \cap B$ を含む閉集合なので, 閉包の定義より $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. （証明終）
$\overline{A \cap B} \supset \overline{A} \cap \overline{B}$ はいつもなりたつとは限らない. $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ とすれば, $\overline{A \cap B} = \overline{\emptyset} = \emptyset$ となる一方で, $\overline{A} \cap \overline{B} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$ となるので異なる.
$Q$. $(\overline{A}-A) \cap (\overline{B}-B) = \emptyset$ と仮定すれば逆も成り立たないか？
追記 : 成り立たない. $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ が反例となっている.
【定理２】
$(A \cup B)^i \supset A^i \cup B^i$ が成り立つ.
PROOF.
$A^i \cup B^i$ は $A \cup B$ に含まれる開集合なので成り立つ. （証明終）
閉包の場合と同様に, 逆向きの包含は成り立たない. 反例も同じで $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ とすればよい.
以下追記.
【定理３】
$\Lambda$ を添え字の集合とし, $\{ A_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ は $X$ の部分集合族とする. このとき以下が成り立つ
- $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i \subset \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i$ .
- $\displaystyle \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i$ . 特に $\Lambda$ が有限集合なら等号が成り立つ.
PROOF.
1 : 各 $\lambda$ について $A_\lambda^i \subset A_\lambda$ なので $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ . この左辺は開集合であるから, この両辺の内部をとることで示される.
2 : $\Lambda = \emptyset$ のときは, 両辺とも全体集合 $X$ になるから成り立つ. 以下では $\Lambda$ は空集合でないとする. 各 $\lambda$ について $\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \subset A_\lambda $ であり, この両辺の内部をとることで, $\displaystyle \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i \subset A_\lambda^i$ . $\lambda$ は任意であるから, $\displaystyle \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i$ .
$\Lambda$ が有限集合であるときに等号が成り立つこと : 空集合の場合には冒頭で書いたように成り立つ. 空集合でないときは $\left( A \cap B \right)^i = A^i \cap B^i$ より帰納的にわかる（省略）. （証明終）
1. の式において逆向きの包含が成り立たないことは定理２と同じくして分かる. あるいは $\Lambda = \mathbb{R}$ とし, $r \in \mathbb{R}$ に対して $A_r = \{ r \}$ とすれば, これも成り立たない例になっている.
2. の式において逆向きの包含が成り立たない例 : $\Lambda = \mathbb{Z}_{>0}$ とし, $\displaystyle A_n = \left[ -\frac 1 n , \frac 1 n \right]$ （閉区間）とすれば, $\displaystyle \left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^i = \{ 0 \}^i = \emptyset$ であり, その一方で $\displaystyle A_n^i = \left( -\frac 1 n , \frac 1 n \right)$ （開区間）であるから, $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n^i = \{ 0 \}$ となるので成り立たない例となっている.
閉包に関しても同様な包含の式が成り立つ. 時間ができたら書くかも.
