内積のもつ意味についての解説ノート
高校数学で学ぶ内積がどのような意味を持つのかを解説します。
内積とは大雑把にいえば、二つのベクトルに対して決まる数（スカラー量という）です。ベクトルが2次元でも3次元でも内積は考えることができます。どちらのベクトルでも理屈は同じなので、この記事では2次元のベクトルで説明します。
二つのベクトル $v_1=(x_1, y_1)$、$v_2=(x_2, y_2)$ に対する内積を $v_1 \cdot v_2$ と書くことにします。内積の定義は
です。つまり、$x$ 成分同士、$y$ 成分同士を掛けたものを足し合わせています。なお、定義とはいわば数学のルール決めのようなものなので、いきなり定義の意味を理解しようとする必要はないです。
さて、何か具体的にベクトルが与えられた際に、上の定義にしたがって内積を計算することは難しくありませんが、これが一体何の役に立つのでしょうか。実は昔の偉い人が、以下の等式が”幸運にも”成り立つことを発見してくれています。
ここで $|v|$ はベクトル $v$ の長さ（ノルム）を、$\theta$ は二つのベクトル $v_1, v_2$ の成す角度を表しています。もしかしたら（２）式を内積の定義だと思っている人もいるかもしれませんが、記事冒頭の（１）式を定義とすることのほうが一般的です。ノルムとかコサインが含まれる（２）式よりも、足し算と掛け算しかない（１）式のほうが余計な説明が要らず簡単ですし、高校数学以降で内積の概念をさらに拡張させる際にも（１）式のほうが好都合だからです。さて、この等式が成り立つおかげで内積が意味のあるものになっているのですが、すぐにはよく分からないですね。以下でその部分を述べます。
（２）式の右辺には二つの概念が含まれています。それは「ベクトルの長さ」と「ベクトルの成す角度」です。ふわっとした問いになりますが、どちらのほうが”求めにくい”でしょうか。
ベクトル $v_1$ の長さは、三平方の定理より $|v_1|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ と計算できますので求めるのは簡単といえます。一方で角度はどうでしょう。例えば $(1, 2), (3, 4)$ と二つのベクトルが与えられても、それらの成す角度はすぐには求まりません。角度は図形的（幾何学的）な情報なので、ベクトルが成分表示（＝数字の羅列）で与えられただけではイメージするのが困難なのです。
ではここで（１）式と（２）式を連立させてみましょう。すると、内積を介することで以下の等式が導かれます。
両辺を見比べると、左辺は足し算と掛け算しかないので容易に計算できる一方、右辺には角度という、今述べたように”求めにくい”ものが含まれています。これこそが②式の意義といえます。すなわち、計算しにくいものが含まれた式を、計算しやすい式（＝内積の定義式）で表現しなおすことができるというのを（２）式は主張しているのです。左辺、右辺の特徴を表にすると以下のようになります。
| $x_1x_2+y_1y_2$ | $|v_1| |v_2| \cos\theta$ | |
|---|---|---|
| 計算の簡単さ | 簡単に計算できる | 角度は一般に計算しにくい |
| 直感的か | 直感的には分かりにくい | ベクトルの長さ、角度は直感的には分かりやすい |
この表から分かるように、（３）式の両辺は、互いに互いの欠点を補いあっているとも見ることができます。このような観点から、内積の意義の一端が見えてきます。
以上、内積についての簡単なノートでした。
