$f(x)=\frac{x}{1+x}$ の性質メモ

(1) $u \geqq 0, v \geqq 0$ について $f(u)+f(v) \geqq f(u+v)$

PROOF: $u, v$ は非負なので, $\frac{u}{1+u} \geqq \frac{u}{1+u+v}$ かつ $\frac{v}{1+v} \geqq \frac{v}{1+u+v}$ . よって

$f(u)+f(v) \geqq \frac{u}{1+u+v}+\frac{v}{1+u+v} =f(u+v)$

(2) $u < -1, v < -1$ について $f(u)+f(v) > f(u+v)$

PROOF: $u, ~ v < -1$ なので $0 > 1 + u > 1 + u + v, ~ 0>1+v>1+u+v$ .

よって $\frac{1}{1+u} < \frac{1}{1+u+v}, ~ \frac{1}{1+v} < \frac{1}{1+u+v}$ .

$f(x)=1-\frac{1}{1+x}$ とも書けるのでいまの場合 $f(u)>f(u+v), ~ f(v)>f(u+v)$ . よって示された.