部分空間に関する内部, 外部, 閉包, 境界

$(X, \mathcal{O}_X)$ は位相空間とし, $(Y, \mathcal{O}_Y)$ はその部分空間とする. $(X, \mathcal{O}_X)$ および $(Y, \mathcal{O}_Y)$ の閉集合全体の集合をそれぞれ $\mathfrak{A}_X$, $\mathfrak{A}_Y$ と表す. $A \subset Y$ とし,

• $i_{X}(A)=X$ における $A$ の内部
• $i_{Y}(A)=Y$ における $A$ の内部
• $e_{X}(A)=X$ における $A$ の外部 $=i_{X}(X-A)$
• $e_{Y}(A)=Y$ における $A$ の外部 $=i_{Y}(Y-A)$
• $f_{X}(A)=X$ における $A$ の境界
• $f_{Y}(A)=Y$ における $A$ の境界
• $c_{X}(A)=X$ における $A$ の閉包
• $c_{Y}(A)=Y$ における $A$ の閉包

と定める. このとき

• $c_{X}(A) \cap Y =c_{Y}(A)$
• $i_{X}(A) \subset i_{Y}(A)$
• $e_{X}(A) \cap Y = e_{Y}(A)$($\subset$を$=$に訂正)
• $f_{X}(A) \supset f_{Y}(A)$

が成り立つ.

【証明】

• $c_{X}(A) \in \mathfrak{A}_X$ なので, $c_{X}(A) \cap Y \in \mathfrak{A}_Y$. よって $Y$ における閉包の定義より $c_{Y}(A) \subset c_{X}(A) \cap Y$. $c_{Y}(A) \in \mathfrak{A}_Y$ より, ある $F \in \mathfrak{A}_X$ があって $c_{Y}(A) = F \cap Y$ となる. $X$ における閉包の定義より $c_X(A) \subset F$ なので $c_X(A) \cap Y \subset F \cap Y = c_{Y}(A)$. よって示された.
• $a \in i_{X}(A)$ とすると, ある $U \in \mathcal{O}_X$ で $a \in U \subset A$ となるものが存在する. ここで $U \subset A \subset Y$ より $U=U \cap Y \in \mathcal{O}_Y$ であるから $a \in i_Y(A)$ でもある. よって示された.
• $a \in e_{X}(A) \cap Y$ とする. ある $U \in \mathcal{O}_X$ があって $a \in U \subset X-A$ となる. $a \in Y$ でもあるので特に $a \in U \cap Y$ である. $U \cap Y \in \mathcal{O}_Y$ であり, $U \cap Y \subset (X-A) \cap Y = Y-A$ であるから, $a \in e_Y(A)$ である. 逆に$x \in e_Y(A)$とする. $\exists U \in \mathcal{O}_Y$ で $x \in U \subset Y-A$ となるものがある. 相対位相の定義より $\exists V \in \mathcal{O}_X$ で $U=V \cap Y$ となるものがとれる. つまり $x \in V \cap Y \subset Y-A$. もしも $V \cap A \neq \varnothing$ だとすると, $A \subset Y$ より $V \cap Y \cap A \neq \varnothing$ となり, $V \cap Y \subset Y-A$ に矛盾. よって $V \cap A = \varnothing$, すなわち $V \subset X-A$ である. よって $x \in e_X(A)$ である. もともと $x \in Y$ だったので $x \in e_X(A) \cap Y$ が示された.
• $ f_X(A) = X-( i_{X}(A) \cup e_{X}(A) ) $
  $ \supset Y-( ( i_{X}(A) \cup e_{X}(A) ) \cap Y ) ) $
  $ \supset Y-( ( i_{Y}(A) \cup e_X(A) ) \cap Y ) $
  $ \supset Y-( i_Y(A) \cup ( e_X(A) \cap Y ) ) $
  $ \supset Y-(i_Y(A) \cup e_Y(A) ) = f_Y(A) $ より示された.

等しくなくなる例
$X=\mathbb{R}^2$, $Y=\mathbb{R}$ とし, 通常の位相を与えるものとする. $A=Y$ とすると, $i_X(A)=\emptyset, i_Y(A)=\mathbb{R}, f_X(A)=\mathbb{R}, f_Y(A)=\emptyset$ となる.