$\epsilon - N$ 論法

$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を数列とする. この数列が $a$ に収束"しない"というのはどういう場合であろうか. 以下のような場合については収束しないといっても問題ないであろう.

1. ずっと $a$ に近づかない場合. 例えば $a$ の周り1cmには近づかない場合など.
2. $a$ に近づいたり離れたりする場合. 例えば $a$ の周り1cmの範囲をいつまでたっても出たり入ったりを繰り返している場合など.

2.のような列の場合, 列の一部だけを見ると $a$ に収束しているということがありうる. 例えば偶数番目では $\frac 1 n$, 奇数番目では $1$ を取るような数列では, 偶数番目だけを見れば $0$ へと収束していく. ところが奇数番目は $0$ から離れているので, "列としては" $0$ には収束していない.

いま収束しないものとして二つの場合を考えたが, 実はこれらはどちらも同じ言い方で表現することができる. すなわち「ある距離 $\epsilon$ をとると, どんなに大きい番号 $N$ が与えられても, その番号より大きいある番号 $n$ をとれば $x_n$ と $a$ の距離が $\epsilon$ 以上になってしまう」と表現できる. つまりどこまでいっても $a$ に近づいてくれないメンバーがいるということである.

この表現を論理式で表そう.

• 「ある距離 $\epsilon$ をとると」は「 $\exists \epsilon > 0$ 」と書ける.
• 「どんなに大きい番号 $N$ が与えられても」は「 $\forall N \in \mathbb{N}$ 」と書ける.
• 「その番号より大きいある番号 $n$ をとれば」は「 $\exists n \geq N$ 」と書ける.
• 「$x_n$ と $a$ の距離が $\epsilon$ 以上になってしまう」は「 $|x_n - a| \geq \epsilon$ 」と書くことができる.

以上を合わせることで収束しないことを表す論理式は

$ \exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n \geq N ~~{\rm s.t.}~~ |x_n - a| \geq \epsilon $

となることが分かる. ここで s.t. は such that の略であり, $\exists$ とセットで使うおまけみたいなものなので気にしなくてもよい.

この論理式の否定は

$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N ~~{\rm s.t.}~~ |x_n - a| < \epsilon $

であり, これが収束することの定義になっている.