作用素ノルムのメモ

$V$, $W$ はある体 $K$ （ $K = \mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ ） 上のノルム空間とし, $A : V \rightarrow W$ は可逆な有界線形作用素であるとする. このとき $A$ の作用素ノルム $||A||$ が定められる. いま, ある正の実数 $a > 0$ について $||A|| < a$ であったとする. このとき以下が成り立つ.

1. $||A^{-1}|| > a^{-1}$
2. $\forall x \in V : ||A^{-1}x|| > a^{-1}||x||$

2. が示されれば 1. も示されるが（というよりほぼ同じだが）, それぞれ独立に示してみる.

証明

1.
　　$1=||I||=||A A^{-1}|| \leq ||A|| ~ ||A^{-1}|| < a||A^{-1}||$

2.
　　$||x||=||A A^{-1} x|| \leq ||A|| ~ ||A^{-1} x|| < a||A^{-1}x||$

2. の方が強い主張である.