群の簡約メモ

$G$ を半群とする（結合法則をみたす演算を備える）. $\forall a , b \in G , \exists! l \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ la = b$ および $\forall a , b \in G , \exists! r \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ ar = b$ を満たしているとする. これを除法が一意的に可能と呼ぶことにする. このとき $G$ は群となる.

元 $a \in G$ を右から掛ける演算を $r_a : G \rightarrow G$ と表し, 左から掛ける演算を $l_a : G \rightarrow G$ と表す. まず単位元が存在することを示す. 除法に関する仮定より $\exists! e \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ r_e(a) = a$ となる. この $e$ が右単位元となることを示す. $b \in G$ を任意にとれば, $\exists! c \in G ~~\mathrm{s.t.} ~~ l_c(a) = b$ である. すると $r_e(b) = r_e \circ l_c(a)$. ここで結合法則のおかげで $r_e \circ l_c = l_c \circ r_e$ であるから, $r_e(b) = l_c \circ r_e(a) = l_c(a) = b$. $b$ は任意であったので $e$ は $G$ の右単位元. 同様にして左単位元も作ることができるが, 結合法則が成り立っている場合は一般に右単位元と左単位元は一致するから, 結局 $e$ は $G$ の単位元.

次に逆元が存在することを見る. 除法に関する仮定により, $\exists! i \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ ai = e$ であり, $\exists! j \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ ja = e$ である. すると $i = ei = (ja)i = j(ai) = je = j$ であるから $i=j$ は $a$ の逆元となる.