閉包と積集合, 内部と和集合

$(X, \mathcal{O})$ は位相空間とし, $A, B \subset X$ を部分集合とする.

【定理１】

$\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つ.

PROOF.

一般に $A \subset \overline{A}$, $B \subset \overline{B}$ なので $A \cap B \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. よって $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $A \cap B$ を含む閉集合なので, 閉包の定義より $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. （証明終）

$\overline{A \cap B} \supset \overline{A} \cap \overline{B}$ はいつもなりたつとは限らない. $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ とすれば, $\overline{A \cap B} = \overline{\emptyset} = \emptyset$ となる一方で, $\overline{A} \cap \overline{B} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$ となるので異なる.

$Q$. $(\overline{A}-A) \cap (\overline{B}-B) = \emptyset$ と仮定すれば逆も成り立たないか？

追記 : 成り立たない. $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ が反例となっている.

【定理２】

$(A \cup B)^i \supset A^i \cup B^i$ が成り立つ.

PROOF.

$A^i \cup B^i$ は $A \cup B$ に含まれる開集合なので成り立つ. （証明終）

閉包の場合と同様に, 逆向きの包含は成り立たない. 反例も同じで $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ とすればよい.

以下追記.

【定理３】

$\Lambda$ を添え字の集合とし, $\{ A_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ は $X$ の部分集合族とする. このとき以下が成り立つ

1. $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i \subset \left( \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i$ .
2. $\displaystyle \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i$ . 特に $\Lambda$ が有限集合なら等号が成り立つ.

PROOF.

1 : 各 $\lambda$ について $A_\lambda^i \subset A_\lambda$ なので $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$ . この左辺は開集合であるから, この両辺の内部をとることで示される.

2 : $\Lambda = \emptyset$ のときは, 両辺とも全体集合 $X$ になるから成り立つ. 以下では $\Lambda$ は空集合でないとする. 各 $\lambda$ について $\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \subset A_\lambda $ であり, この両辺の内部をとることで, $\displaystyle \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i \subset A_\lambda^i$ . $\lambda$ は任意であるから, $\displaystyle \left( \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \right)^i \subset \bigcap_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda^i$ .

$\Lambda$ が有限集合であるときに等号が成り立つこと : 空集合の場合には冒頭で書いたように成り立つ. 空集合でないときは $\left( A \cap B \right)^i = A^i \cap B^i$ より帰納的にわかる（省略）. （証明終）

1. の式において逆向きの包含が成り立たないことは定理２と同じくして分かる. あるいは $\Lambda = \mathbb{R}$ とし, $r \in \mathbb{R}$ に対して $A_r = \{ r \}$ とすれば, これも成り立たない例になっている.

2. の式において逆向きの包含が成り立たない例 : $\Lambda = \mathbb{Z}_{>0}$ とし, $\displaystyle A_n = \left[ -\frac 1 n , \frac 1 n \right]$ （閉区間）とすれば, $\displaystyle \left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^i = \{ 0 \}^i = \emptyset$ であり, その一方で $\displaystyle A_n^i = \left( -\frac 1 n , \frac 1 n \right)$ （開区間）であるから, $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n^i = \{ 0 \}$ となるので成り立たない例となっている.

閉包に関しても同様な包含の式が成り立つ. 時間ができたら書くかも.

$f(x)=\frac{x}{1+x}$ の性質メモ

(1) $u \geqq 0, v \geqq 0$ について $f(u)+f(v) \geqq f(u+v)$

PROOF: $u, v$ は非負なので, $\frac{u}{1+u} \geqq \frac{u}{1+u+v}$ かつ $\frac{v}{1+v} \geqq \frac{v}{1+u+v}$ . よって

$f(u)+f(v) \geqq \frac{u}{1+u+v}+\frac{v}{1+u+v} =f(u+v)$

(2) $u < -1, v < -1$ について $f(u)+f(v) > f(u+v)$

PROOF: $u, ~ v < -1$ なので $0 > 1 + u > 1 + u + v, ~ 0>1+v>1+u+v$ .

よって $\frac{1}{1+u} < \frac{1}{1+u+v}, ~ \frac{1}{1+v} < \frac{1}{1+u+v}$ .

$f(x)=1-\frac{1}{1+x}$ とも書けるのでいまの場合 $f(u)>f(u+v), ~ f(v)>f(u+v)$ . よって示された.

部分空間に関する内部, 外部, 閉包, 境界

$(X, \mathcal{O}_X)$ は位相空間とし, $(Y, \mathcal{O}_Y)$ はその部分空間とする. $(X, \mathcal{O}_X)$ および $(Y, \mathcal{O}_Y)$ の閉集合全体の集合をそれぞれ $\mathfrak{A}_X$, $\mathfrak{A}_Y$ と表す. $A \subset Y$ とし,

• $i_{X}(A)=X$ における $A$ の内部
• $i_{Y}(A)=Y$ における $A$ の内部
• $e_{X}(A)=X$ における $A$ の外部 $=i_{X}(X-A)$
• $e_{Y}(A)=Y$ における $A$ の外部 $=i_{Y}(Y-A)$
• $f_{X}(A)=X$ における $A$ の境界
• $f_{Y}(A)=Y$ における $A$ の境界
• $c_{X}(A)=X$ における $A$ の閉包
• $c_{Y}(A)=Y$ における $A$ の閉包

と定める. このとき

• $c_{X}(A) \cap Y =c_{Y}(A)$
• $i_{X}(A) \subset i_{Y}(A)$
• $e_{X}(A) \cap Y = e_{Y}(A)$($\subset$を$=$に訂正)
• $f_{X}(A) \supset f_{Y}(A)$

が成り立つ.

【証明】

• $c_{X}(A) \in \mathfrak{A}_X$ なので, $c_{X}(A) \cap Y \in \mathfrak{A}_Y$. よって $Y$ における閉包の定義より $c_{Y}(A) \subset c_{X}(A) \cap Y$. $c_{Y}(A) \in \mathfrak{A}_Y$ より, ある $F \in \mathfrak{A}_X$ があって $c_{Y}(A) = F \cap Y$ となる. $X$ における閉包の定義より $c_X(A) \subset F$ なので $c_X(A) \cap Y \subset F \cap Y = c_{Y}(A)$. よって示された.
• $a \in i_{X}(A)$ とすると, ある $U \in \mathcal{O}_X$ で $a \in U \subset A$ となるものが存在する. ここで $U \subset A \subset Y$ より $U=U \cap Y \in \mathcal{O}_Y$ であるから $a \in i_Y(A)$ でもある. よって示された.
• $a \in e_{X}(A) \cap Y$ とする. ある $U \in \mathcal{O}_X$ があって $a \in U \subset X-A$ となる. $a \in Y$ でもあるので特に $a \in U \cap Y$ である. $U \cap Y \in \mathcal{O}_Y$ であり, $U \cap Y \subset (X-A) \cap Y = Y-A$ であるから, $a \in e_Y(A)$ である. 逆に$x \in e_Y(A)$とする. $\exists U \in \mathcal{O}_Y$ で $x \in U \subset Y-A$ となるものがある. 相対位相の定義より $\exists V \in \mathcal{O}_X$ で $U=V \cap Y$ となるものがとれる. つまり $x \in V \cap Y \subset Y-A$. もしも $V \cap A \neq \varnothing$ だとすると, $A \subset Y$ より $V \cap Y \cap A \neq \varnothing$ となり, $V \cap Y \subset Y-A$ に矛盾. よって $V \cap A = \varnothing$, すなわち $V \subset X-A$ である. よって $x \in e_X(A)$ である. もともと $x \in Y$ だったので $x \in e_X(A) \cap Y$ が示された.
• $ f_X(A) = X-( i_{X}(A) \cup e_{X}(A) ) $
  $ \supset Y-( ( i_{X}(A) \cup e_{X}(A) ) \cap Y ) ) $
  $ \supset Y-( ( i_{Y}(A) \cup e_X(A) ) \cap Y ) $
  $ \supset Y-( i_Y(A) \cup ( e_X(A) \cap Y ) ) $
  $ \supset Y-(i_Y(A) \cup e_Y(A) ) = f_Y(A) $ より示された.

等しくなくなる例
$X=\mathbb{R}^2$, $Y=\mathbb{R}$ とし, 通常の位相を与えるものとする. $A=Y$ とすると, $i_X(A)=\emptyset, i_Y(A)=\mathbb{R}, f_X(A)=\mathbb{R}, f_Y(A)=\emptyset$ となる.