2018年度東京大学理系数学第２問

面白かったので一つの解法を書く.

(1)　まず地道に計算することで,

$ \displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n+1}{\frac{1}{2}n(n+1)} $

を得る. 分母分子ともに整数となっていることは明らか. 分母と分子が互いに素であることを示す.

$n$ を1つ固定するとき, $a=2n+1$, $b=-8$ とおけば,

$\displaystyle a(2n+1)+b \left( \frac{1}{2}n(n+1) \right)=1$

となる. よってこれら2数はどの $n$ についても互いに素であることが分かった（共通因数を $d$ などとおいて上の式を書きかえれば $d=1$ しかないと分かる）.

(2)　私見だが, (1) でわざわざ分母を $p_n$, 分子を $q_n$ とおいて求めさせたのはヒントではないかと思う. いま,

$\displaystyle a_n=a_1 \times \frac{a_2}{a_1} \times \frac{a_3}{a_2} \times \cdots \times \frac{a_n}{a_{n-1}}$$\displaystyle =\frac{ 3 \times q_2 \times q_3 \times \cdots \times q_n }{ p_2 \times p_3 \times \cdots \times p_n }$

　さて(1)で求めた $q_n$ を見ると, 全て奇数であると分かる. ということは上式の分子は奇数であるから, もしも $p_2$ から $p_n$ のうちどれか1つでも偶数であったらもはや整数にはなりえない. そこで $p_n$ がいつ偶数になるかを調べれば, $p_3=6$ となっていると分かる. よって $n \geqq 3$ では $a_n$ は整数にならないので, あと調べるべきは $n=1, 2$ のみであり, $a_1$, $a_2$ はどちらも整数になっている.（終わり）

　初めは $a_n < 1$ になれば整数にはならないだろうと考えて, 大小関係から解こうと試みた. 実際これでも解けるのだが, $a_8$ まで手計算しなければならず, 試験会場では困難である.