整数環 $\mathbb{Z}$ において乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ

整数環 $\mathbb{Z}$ において, 乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ.

「実数体 $\mathbb{R}$ において $2$ の逆元 $\frac{1}{2}$ が存在し, これが整数でないので示された」として良さそうだが, 整数に関する定理は整数の性質だけを使って示すほうがよさそう.

【証明１】

ある整数 $n$ が $2n=1$ を満たすとする. 一般に順序と演算の整合性から $1>0$ は導かれるので, 仮定と合わせて $2n=1>0$ を得る. つまり $n+n>0$ である. もしも $n \leqq 0$ ならば $n+n \leqq 0$ より矛盾なので, 背理法により $n>0$ （不等式の両辺を2で割ったわけではない）. 一方,

$2(n-1)=2n-2=1-2=-1 < 0$

だから上と同様にして $n-1<0$ . つまり $n<1$ （両辺に $1$ を足した）. これらより $0<n<1$ . これを満たす整数は存在しない.

このことを再び背理法で示す. もしこのような整数 $n$ があったとすると, 正の整数であることより特に自然数である. また $n<1$ であることより $n=1×n>n×n=n^2$ . これを帰納的に続けていけば

$n>n^2>n^3> \cdots$

と続いていく. ところが任意の自然数は $0$ に対して有限回後続数をとったものなので, $n$ から無限に降下していくのはおかしい（有限回という概念は自然数が無い状態でも考えられるものであろうか）. よって矛盾.

【証明２】

任意の整数 $ n $ と $ m $ について, ある整数 $ q $ と正の整数 $r$ で $|m|>r>=0$ を満たすものが一意的に存在して $n=qm+r$ となることを使う.

$2n=2×n+0, ~~ 1=2×0+1$

と表すことができるが, 余りの部分が一致していない. よって余りの一意性より矛盾.

【証明３】

$2n=1$ とする. $n$ は整数であるが, 特に $n>0$ の時は自然数に一致することは認めるものとする（整数の定義が曖昧なので今は認めるものとします. あとで追記するかも）. 証明１と同様にして $n>0$ が出る. よって $n$ は $0$ でない自然数なので, ある自然数 $ m $ の後続数である.

自然数のサクセッサー関数を ${\rm Suc}$ とおく. $n={\rm Suc}(m)$である. ${\rm Suc}$ の性質から

$1={\rm Suc}(0), ~~ 2n=n+n={\rm Suc}(n+m)$

${\rm Suc}$ の単射性から $ 0=n+m $ . 再び ${\rm Suc}$ を使って $ n+m={\rm Suc}(m+m) $ . つまり $ 0={\rm Suc}(m+m) $ . いま $ m $ は自然数なので $ m+m $ も自然数. したがって $ 0 $ はある自然数の後続数になる. しかしこれは自然数の定義に反する. よって矛盾.

【まとめ】

自然数や整数や足し算の定義が曖昧なのでところどころ曖昧なままの証明になってしまった. ここらへんを勉強しなければならない. ただ個人的に１と３はかなり公理に近いところだけを使ってできたのではないかなぁと思っている. 特に３は数の大小関係をほぼ使わないで示しているように見えるのでもうすこし考察したい.