加群の定義メモ

加群の定義を当たり前と思わないための戒めとしてメモする.

可換群$ M $が環$ R $上の左加群であるとは左作用$ R \times M \rightarrow M ; (a, x) \mapsto ax $に関して, 

(1) $ \forall a \in R, \forall x, y \in M $について$ a(x+y)=ax+ay $

(2) $ \forall a, b \in R, \forall x \in M $について$ (a+b)x=ax+bx $

(3) $ \forall a, b \in R, \forall x \in M $について$ (ab)x=a(bx) $

(4) $ \forall x \in M $について$ 1x=x $

が成り立つことである（志甫　淳, 「共立講座 数学の魅力５ 層とホモロジー代数」, 東京, 共立出版, 2016.1, 7p を参考にしました）.

時間をおいてから上の定義を見ると直感的に明らかに感じてしまうが, ちゃんと写像を使って書くと次のようになる.

$ R $上の和, 積をそれぞれ$ {\rm Sum}_R, {\rm Mul}_R : R \times R \rightarrow R $と表す.

$ M $上の和を$ {\rm Sum}_M : M \times M \rightarrow M $と表す.

$ R $の$ M $への左作用を$ Act : R \times M \rightarrow M $と表す.

これらを使うと上の定義はそれぞれ以下のように書き換えられる.

(1)' $ Act(a, {\rm Sum}_{M}(x, y)) = {\rm Sum}_{M}(Act(a, x), Act(a, y)) $

(2)' $ Act({\rm Sum}_{R}(a, b), x) = {\rm Sum}_{M}(Act(a, x), Act(b, x))$

(3)' $ Act({\rm Mul}_{R}(a, b), x) = Act(a, Act(b, x)) $

(4)' $ Act(1, x) = x $

感想は個人によるが, 自分は割と非自明な式だなあと思った.

自分が思っているよりも(1)のような式は非自明なのかもしれない. $ R $からの作用が$ M $での和を飛び越えて作用するということだから.