mathdiaryのブログ

数学についての覚え書きを雑多にしていきます.

閉包と積集合, 内部と和集合

$(X, \mathscr{O})$ は位相空間とし, $A, B \subset X$ を部分集合とする.

【定理】

$\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つ.

PROOF.

一般に $A \subset \overline{A}$, $B \subset \overline{B}$ なので $A \cap B \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. よって $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $A \cap B$ を含む閉集合なので, 閉包の定義より $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. (証明終)

 

$\overline{A \cap B} \supset \overline{A} \cap \overline{B}$ はいつもなりたつとは限らない. $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R} - \mathbb{Q}$ とすれば, $\overline{A \cap B} = \overline{\emptyset} = \emptyset$ となる一方で, $\overline{A} \cap \overline{B} = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$ となるので異なる.

 

$Q$. $(\overline{A}-A) \cap (\overline{B}-B) = \emptyset$ と仮定すれば逆も成り立たないか?

 

【定理】

$(A \cup B)^i \supset A^i \cup B^i$ が成り立つ.

PROOF.

$A^i \cup B^i$ は $A \cup B$ に含まれる開集合なので成り立つ. (証明終)

 

閉包の場合と同様に, 逆向きの包含は成り立たない. 反例も同じで $A=\mathbb{Q}, B=\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ とすればよい.