mathdiaryのブログ

数学についての覚え書きを雑多にしていきます.

点P

杉浦の解析Iの覚え書き①

( 1 ) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a^n}{n!}=0$

$a=0$ なら明らか. $a \neq 0$ とする. このとき $|a| > 0$ である. $|a|$ と $1$ についてアルキメデスの定理を用いれば, ある自然数 $S=S(a)$ であって $S > |a|$ となるものが存在する. $m \geqq S$ ならば $m > |a|$ となることは明らか. また,
$\displaystyle M = M(a) := \frac{|a|^{S}}{S!} > 0$
と定める. わざわざ一度 $S(a)$, $M(a)$ と書いたのは $a$ に依存して決まることを明確にするため. さて $\epsilon > 0$ を任意にとる. 再びアルキメデスの原理を $|a|$ と $\displaystyle \frac{\epsilon}{M} > 0$ について用いれば, ある自然数 $T=T(a, \epsilon)$ であって,
$\displaystyle |a| < T\frac{\epsilon}{M}$
となるものが存在する. すなわち $\displaystyle \frac{|a|}{T} < \frac{\epsilon}{M}$.

ここで $N = N(a, \epsilon) := \max \{ S, T \}$ とさだめ, $n \geqq N+2$ とする. すると
$\displaystyle \frac{|a|^n}{n!}= \frac{|a|^S}{S!} \times \left( \prod_{k=1}^{n-S-1} \frac{|a|}{S+k} \right) \times \frac{|a|}{n}$
と表せる(わざわざ $n \geqq N+2$ としたのは, $\prod$ において $n-S-1 \geqq 1$ とするためなので別に本質的ではない).
$S$ の定義より, 全ての $1 \leqq k \leqq n-S-1$ について $\displaystyle \frac{|a|}{S+k} < 1$. また $n > N \geqq T$ なので $\displaystyle \frac{|a|}{n} < \frac{|a|}{T} < \frac{\epsilon}{M}$. よって上の式について以下のような評価が得られる.
$\displaystyle \frac{|a|^S}{S!} \times \left( \prod_{k=1}^{n-S-1} \frac{|a|}{S+k} \right) \times \frac{|a|}{n} < M \times \frac{\epsilon}{M}=\epsilon$

以上より, $\displaystyle \forall n \geqq N+2 : ~~ \left| \frac{a^n}{n!} \right| = \frac{|a|^n}{n!} < \epsilon$. よって $0$ に収束することが示された.
( 2 ) $a>0$ のとき $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a^{\frac 1 n}=1$
$a=1$ なら自明であるから $a \neq 1$ としてよい. まず $a > 1$ のときを考える. すると $\displaystyle a^{\frac 1 n} > 1$ である. なぜなら $\displaystyle ( ~ 0 < ~ ) ~ a^{\frac 1 n} \leqq 1$ とすると, 両辺を $n$ 乗すれば $a \leqq 1$ となり矛盾するからである. よってある $h_n > 0$ によって $\displaystyle a^{\frac 1 n} = 1 + h_n$ と表される. よって
$\displaystyle a = (1+h_n)^n \geqq 1 + nh_n$
なので $\displaystyle 0 < h_n \leqq \frac{a-1}{n}$ を得る. $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a-1}{n}=0$ なので, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} h_n=0$ である. よって,
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a^{\frac 1 n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + h_n) = 1 + 0 = 1$
が示される.
次に $0 < a < 1$ のときを考える. まず任意の自然数 $n \geqq 1$ について $\displaystyle a^{\frac 1 n} < 1$ である. なぜなら $\displaystyle a^{\frac 1 n} \geqq 1$ とすると, 両辺を $n$ 乗すれば $a \geqq 1$ となり仮定に矛盾するからである.

この結果を用いて数列 $\displaystyle \left\{a^{\frac 1 n}\right\}$ が単調増加であることを示す. すなわち,
$ \displaystyle a^{\frac{1}{n+1}}-a^{\frac 1 n} = a^{\frac{1}{n+1}}~\left(~1 - a^{\frac{1}{n(n+1)}}~\right)~ > 0$.
よって狭義単調増加であることが分かった. これと $a \leqq \displaystyle a^{\frac 1 n} \leqq 1$, すなわち上に有界かつ全ての項が $a$ 以上なことを合わせれば, 数列 $\displaystyle \left\{ a^{\frac 1 n}\right\}$ はある正の実数 $c$ に収束することが分かる.

さて $\displaystyle b = \frac 1 a > 1$ について上と同様の議論をすれば,
$\displaystyle 1 = \lim_{n \rightarrow \infty} b^{\frac 1 n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{a^{\frac 1 n}} = \left( \lim_{n \rightarrow \infty}a^{\frac 1 n} \right)^{-1}=\frac 1 c$
ゆえに $\displaystyle c = \lim_{n \rightarrow \infty}a^{\frac 1 n} = 1$ が示された(上の議論は数列 $\displaystyle \left\{a^{\frac 1 n}\right\}$ が収束することが分かっていないとできないので, 極限 $c$ の存在を示す必要がある).
( 3 ) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$
$\displaystyle 0 \leqq \frac{n!}{n^n} = \prod_{k=1}^n \frac{k}{n} \leqq \frac 1 n$. よってはさみうちの原理から示される.
( 4 ) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{2^n}=0$
任意の自然数 $n \geqq 2$ について,
$\displaystyle 2^n = (1+1)^n \geqq \frac{n(n-1)}{2} > \frac{n^2}{2}$
よって $\displaystyle \frac{n}{2^n} < \frac{2}{n}$ なので示された.