mathdiaryのブログ

数学についての覚え書きを雑多にしていきます.

点P

$n$ の $n$ 乗根の収束値

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac 1 n} = 1$ を微分を使わずに示すメモ.

初めの有限個の項の値は収束値に関係ないので, $n \geqq 2$ の範囲で考えて良い. するとこの範囲では $\displaystyle n^{\frac 1 n} > 1$ なので(これは背理法で示される), 各 $n$ に対してある $h_n > 0$ が存在して $\displaystyle n^{\frac 1 n} = 1 + h_n$ と書ける. すると, $n \geqq 2$ と $h_n>0$ のおかげで,

$\displaystyle n=(1+h_n)^n \geqq 1+nh_n+\frac{1}{2}n(n-1)h_n^2$

が成り立つ. これを整理して両辺を $n(n-1)$ で割れば($n\geqq 2$ なので割れる),

$\displaystyle h_n^2+\frac{2}{n-1}h_n-\frac{2}{n} \leqq 0$

という不等式が得られる. これを $h_n$ について平方完成して整理すると,

$\displaystyle \left( h_n+\frac{1}{n-1} \right)^2 \leqq \frac{2}{n} + \frac{1}{\left(n-1\right)^2}$

両辺の正の平方根をとれば,

$\displaystyle \left| h_n+\frac{1}{n-1} \right| \leqq \sqrt{\frac{2}{n} + \frac{1}{\left(n-1\right)^2}}$

ゆえに $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left( h_n + \frac{1}{n-1} \right) = 0$. これより,

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} h_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( h_n+\frac{1}{n-1} \right)-\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n-1}=0-0=0$

以上より,

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n^{\frac 1 n} = \lim_{n \rightarrow \infty}\left( 1 + h_n \right) = 1+0=1$