mathdiaryのブログ

数学についての覚え書きを雑多にしていきます.

部分空間の直和について

$V$ を線形空間とし, $W, W'$ を $V$ の部分空間とする. $g : W \times W' \rightarrow W+W'$ を $g(w, w') = w + w'$ と定める. このとき,

${\rm Ker} ~ g = \{ (w, -w) ~ | ~ w \in W \cap W' \} =: {\rm Skew}(W \cap W')$.

$Proof.$

${\rm Skew}(W \cap W') \subset {\rm Ker} ~ g$ は明らか.

$(w, w') \in {\rm Ker} ~ g$ とする. $g(w, w') = w + w'=0$ なので $w'=-w$. よって $w \in W \cap W'$ で $(w, w') = (w, -w) \in {\rm Skew}(W \cap W')$ (証明終)

 

$\pi_1 : W \times W' \rightarrow W , \pi_2 : W \times W' \rightarrow W'$ をそれぞれ第一, 第二射影とする. すると上の主張より,

$\pi_1 ({\rm Ker} ~ g)=\pi_2 ({\rm Ker} ~ g)=W \cap W'$

がすぐわかる.

ゆえに $g$ が単射であることと, $W \cap W'=0$ は同値である.

定義より $g$ が全射線型写像であることは明らかなので, $W \cap W'=0$ は $g$ が同型であることと同値である.