部分空間の直和について
$V$ を線形空間とし, $W, W'$ を $V$ の部分空間とする. $g : W \times W' \rightarrow W+W'$ を $g(w, w') = w + w'$ と定める. このとき,
$Proof.$
${\rm Skew}(W \cap W') \subset {\rm Ker} ~ g$ は明らか.
$(w, w') \in {\rm Ker} ~ g$ とする. $g(w, w') = w + w'=0$ なので $w'=-w$. よって $w \in W \cap W'$ で $(w, w') = (w, -w) \in {\rm Skew}(W \cap W')$ (証明終)
$\pi_1 : W \times W' \rightarrow W , \pi_2 : W \times W' \rightarrow W'$ をそれぞれ第一, 第二射影とする. すると上の主張より,
がすぐわかる.
ゆえに $g$ が単射であることと, $W \cap W'=0$ は同値である.
定義より $g$ が全射線型写像であることは明らかなので, $W \cap W'=0$ は $g$ が同型であることと同値である.