整数環Zにおいて2の逆元が無いことのメモ

整数環Zにおいて, 乗法に関する2の逆元がないことのメモ.

実数体Rにおいて2の逆元1/2が存在し, これが整数でないので示された」
として良さそうだが, 整数に関する定理は整数の性質だけを使って示すべき.

【証明①】
ある整数 n が 2n=1 を満たすとする.

一般に順序と演算の整合性から 1>0 は導かれるので, 仮定と合わせて 2n=1>0 を得る.
つまり n+n>0 である.
もしも n<=0 ならば n+n<=0 より矛盾なので, 背理法により n>0(不等式の両辺を2で割ったわけではない).

一方, 2(n-1)=2n-2=1-2=-1<0 だから上と同様にして n-1<0.
つまり n<1(両辺に1を足した).

これらより 0n×n=n^2
これを続けていけばn>n^2>n^3>……と続いていく.
ところが任意の自然数は0に対して有限回後続数をとったものなので, 無限に降下していくのはおかしい(有限回という概念は自然数が無い状態でも考えられるものであろうか).
よって矛盾.

【証明②】
任意の整数 n と m について, ある整数 q と正の整数 rで |m|>r>=0 を満たすものが一意的に存在して
n=qm+r
となることを使う.

2n=2×n+0
1=2×0+1

一意性より矛盾.

【証明③】
2n=1とする.
nは整数であるが, 特にn>0の時は自然数に一致することは認めるものとする(整数の定義が曖昧なので今は認めるものとします. あとで追記するかも).
証明①と同様にしてn>0が出ます.
よってnは0でない自然数なので, ある自然数mの後続数である.
自然数のサクセッサー関数をSucとおく.
n=Suc(m)である.
Sucの性質から
1=Suc(0)
2n=n+n=Suc(n+m)
Sucの単射性から0=n+m
再びSucを使って
n+m=Suc(m+m)
つまり0=Suc(m+m)
いまmは自然数なのでm+mも自然数.
したがって0はある自然数の後続数になる.
しかしこれは自然数の定義に反する.
よって矛盾.

【まとめ】
自然数や整数や足し算の定義が曖昧なのでところどころ曖昧なままの証明になってしまった.
ここらへんを勉強できるいい本を探さなければならない.
ただ個人的に①と③はかなり公理に近いところだけを使ってできたのではないかなぁと思っている. 特に③は数の大小関係をほぼ使わないで示しているように見えるのでもうすこし考察したい.