mathdiaryのブログ

数学についての覚え書きを雑多にしていきます.

点P

杉浦解析Iの解法メモ②

// 正数列 $\displaystyle \{ a_n \}$ に関して, ある実数 $a \geqq 0$ が存在して $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=a$ が成り立つなら, $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \left( a_n \right) ^{\frac 1 n}=a$ …

杉浦の解析Iの覚え書き①

// ( 1 ) $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a^n}{n!}=0$ $a=0$ なら明らか. $a \neq 0$ とする. このとき $|a| > 0$ である. $|a|$ と $1$ についてアルキメデスの定理を用いれば, ある自然数 $S=S(a)$ であって $S > |a|$ となるものが存在…

$n$ の $n$ 乗根の収束値

// $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n^{\frac 1 n} = 1$ を微分を使わずに示すメモ. 初めの有限個の項の値は収束値に関係ないので, $n \geqq 2$ の範囲で考えて良い. するとこの範囲では $\displaystyle n^{\frac 1 n} > 1$ なので(これは背理…

2018年度東京大学理系数学第2問

2018年度東京大学理系数学の第2問の解法を載せてます.

写像の空間に誘導される距離

// $(X, d)$ を距離空間とし, $S$ を任意の集合とする. また, $ F = \{ f:S \rightarrow X ~|~ f(S) \subset X$ は $(X, d)$ においての有界集合 $\}$ と定める. $L_1, \cdots, L_n$ は, $F$ から $F$ への任意の写像とする. このとき $\rho : F \times F \r…

2012年東京大学入学試験 化学:大問1のIIについて

数学のブログだが、化学についてのメモ。 今日、東京大学の2012年の化学の入試問題を解説する機会があった。問題自体は予備校のサイトなどを参照してもらいたいが、要は化学平衡の問題だった。 問題設定では物質PS-Xが会合を起こし、二量体の(PS-X)2になると…

正則かつHausdorffだが正規ではない位相空間 - Sorgenfrey plane

// 集合族 $\{ ~ [ a, b ) ~|~ a, b \in \mathbb R ~ \}$ を開基として持つ $\mathbb R$ 上の位相を下限位相という. この位相を備えた $\mathbb R$ をSorgenfrey lineともいう. 以下この空間を $\mathbb S$ で表すことにする. 【命題】 Sorgenfrey空間 $\mat…

群の簡約メモ

// $G$ を半群とする(結合法則をみたす演算を備える). $\forall a , b \in G , \exists! l \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ la = b$ および $\forall a , b \in G , \exists! r \in G ~~ \mathrm{s.t.} ~~ ar = b$ を満たしているとする. これを除法が一意的に…

作用素ノルムのメモ

同型写像の作用素ノルムに関するいくつかの基本的な不等式のメモ.

2つの原点をもつ直線

ハウスドルフだが局所ユークリッドでない位相空間の例として, 原点を二つ持つ直線という一次元多様体を考えることができる. それについての基本的な定義などのメモ.

部分空間の直和について

// $V$ を線形空間とし, $W, W'$ を $V$ の部分空間とする. $g : W \times W' \rightarrow W+W'$ を $g(w, w') = w + w'$ と定める. このとき, ${\rm Ker} ~ g = \{ (w, -w) ~ | ~ w \in W \cap W' \} =: {\rm Skew}(W \cap W')$. $Proof.$ ${\rm Skew}(W \c…

$4\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}$ のときの $\tan\theta$

// 個人的に面白かったのでメモ. 問は以下のようなもの. $0^\circ < \theta < 180^\circ$ かつ $4\cos\theta + 2\sin\theta = \sqrt{2}$ のとき, $\tan\theta$ を求めよ. 最初にやった解き方は以下. $\cos\theta=0$ のときは $\sin\theta=1$ となりこれは条…

反例の匣

// どうということはない反例をメモするところ. 「稠密な集合の, 連続な写像による逆像は稠密になるとは限らない」: $f : \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ を $f(0)=0$ と定めれば, $\mathbb{R} - \{0\}$ は $\mathbb{R}$ で稠密であるが $f^{-1}(\mathbb{R}…

近傍系が細かい方が位相が大きいことのメモ

各点の基本近傍系が細かい位相空間ほど位相が細かいことが分かる. 基本近傍系とはある意味で局所的な構造であるが, それらをすべての点で比べることによって, 位相というある意味で大域的な性質についての情報を得ることができる.

閉包と積集合, 内部と和集合

閉包同士の積集合や, 内部同士の和集合に関してなりたついくつかの基本的な性質をまとめたもの.

$f(x)=\frac{x}{1+x}$ の性質メモ

// (1) $u \geqq 0, v \geqq 0$ について $f(u)+f(v) \geqq f(u+v)$ PROOF: $u, v$ は非負なので, $\frac{u}{1+u} \geqq \frac{u}{1+u+v}$ かつ $\frac{v}{1+v} \geqq \frac{v}{1+u+v}$ . よって $f(u)+f(v) \geqq \frac{u}{1+u+v}+\frac{v}{1+u+v} =f(u+v)$…

部分空間に関する内部, 外部, 閉包, 境界

// $(X, \mathcal{O}_X)$ は位相空間とし, $(Y, \mathcal{O}_Y)$ はその部分空間とする. $(X, \mathcal{O}_X)$ および $(Y, \mathcal{O}_Y)$ の閉集合全体の集合をそれぞれ $\mathfrak{A}_X$, $\mathfrak{A}_Y$ と表す. $A \subset Y$ とし, $i_{X}(A)=X$ に…

整数環 $\mathbb{Z}$ において乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ

// 整数環 $\mathbb{Z}$ において, 乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ. 「実数体 $\mathbb{R}$ において $2$ の逆元 $\frac{1}{2}$ が存在し, これが整数でないので示された」として良さそうだが, 整数に関する定理は整数の性質だけを使って示すほう…

順序について

$X$ を集合とする. $X$ 上の二項関係とは次の写像である. $ \rho : X \times X \rightarrow \{ T, F \} $ ここで集合 $ \{ T, F \} $ は真理値の集合を表す. $T$ が True, $F$ が False のつもりである. $ \{ 1, 0 \} $ で代用しても問題ない. このような写…

$\epsilon - N$ 論法

$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を数列とする. この数列が $a$ に収束"しない"というのはどういう場合であろうか. 以下のような場合については収束しないといっても問題ないであろう. ずっと $a$ に近づかない場合. 例えば $a$ の周り1cmには近づかない場合など…

加群の定義メモ

// 加群の定義を当たり前と思わないための戒めとしてメモする. 可換群$ M $が環$ R $上の左加群であるとは左作用$ R \times M \rightarrow M ; (a, x) \mapsto ax $に関して, (1) $ \forall a \in R, \forall x, y \in M $について$ a(x+y)=ax+ay $ (2) $ \f…

環 $R$ 上の多項式

環上の多項式というものは厳密には, 係数を対応させる写像と変数の組であると考えられる. この写像により多項式の次数(deg)を定めることができ, いくつかの基本的な等式, 不等式が成り立つことが分かる. この証明を, 係数を対応させる写像に注目して行う.

分数の性質メモ

// 分数どうしの掛け算, 割り算の法則を示そうと思います. ときどき大学数学の話が混ざっていますが大部分は一次方程式をいじっているだけです. 実数 $ a $ と実数 $ b≠0 $ に関して定まる分数 $ \frac{a}{b} $ とは一次方程式 $ a = bx $ の解と定めます(…