mathdiaryのブログ

数学についての覚え書きを雑多にしていきます.

閉包と積集合, 内部と和集合

// $(X, \mathscr{O})$ は位相空間とし, $A, B \subset X$ を部分集合とする. 【定理】 $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$ が成り立つ. PROOF. 一般に $A \subset \overline{A}$, $B \subset \overline{B}$ なので $A \cap B \s…

$f(x)=\frac{x}{1+x}$ の性質メモ

// (1) $u \geqq 0, v \geqq 0$ について $f(u)+f(v) \geqq f(u+v)$ PROOF: $u, v$ は非負なので, $\frac{u}{1+u} \geqq \frac{u}{1+u+v}$ かつ $\frac{v}{1+v} \geqq \frac{v}{1+u+v}$ . よって $f(u)+f(v) \geqq \frac{u}{1+u+v}+\frac{v}{1+u+v} =f(u+v)$…

部分空間に関する内部, 外部, 閉包, 境界

// $(X, \mathcal{O}_X)$ は位相空間とし, $(Y, \mathcal{O}_Y)$ はその部分空間とする. $(X, \mathcal{O}_X)$ および $(Y, \mathcal{O}_Y)$ の閉集合全体の集合をそれぞれ $\mathfrak{A}_X$, $\mathfrak{A}_Y$ と表す. $A \subset Y$ とし, $i_{X}(A)=X$ に…

整数環 $\mathbb{Z}$ において乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ

// 整数環 $\mathbb{Z}$ において, 乗法に関する $2$ の逆元がないことのメモ. 「実数体 $\mathbb{R}$ において $2$ の逆元 $\frac{1}{2}$ が存在し, これが整数でないので示された」として良さそうだが, 整数に関する定理は整数の性質だけを使って示すほう…

順序について

$X$ を集合とする. $X$ 上の二項関係とは次の写像である. $ \rho : X \times X \rightarrow \{ T, F \} $ ここで集合 $ \{ T, F \} $ は真理値の集合を表す. $T$ が True, $F$ が False のつもりである. $ \{ 1, 0 \} $ で代用しても問題ない. このような写…

$\epsilon - N$ 論法

$(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ を数列とする. この数列が $a$ に収束"しない"というのはどういう場合であろうか. 以下のような場合については収束しないといっても問題ないであろう. ずっと $a$ に近づかない場合. 例えば $a$ の周り1cmには近づかない場合など…

加群の定義メモ

// 加群の定義を当たり前と思わないための戒めとしてメモする. 可換群$ M $が環$ R $上の左加群であるとは左作用$ R \times M \rightarrow M ; (a, x) \mapsto ax $に関して, (1) $ \forall a \in R, \forall x, y \in M $について$ a(x+y)=ax+ay $ (2) $ \f…

分数の性質メモ

// 分数どうしの掛け算, 割り算の法則を示そうと思います. ときどき大学数学の話が混ざっていますが大部分は一次方程式をいじっているだけです. 実数 $ a $ と実数 $ b≠0 $ に関して定まる分数 $ \frac{a}{b} $ とは一次方程式 $ a = bx $ の解と定めます(…